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ici, en augmentant de 3 la vraie racine qui étoit 5, on a diminué de 3 chacune
des fausses, en sorte que celle qui étoit 4 n’est plus que 1, et celle qui étoit 3
est nulle, et celle qui étoit 2 est devenue vraie et est 1, à cause que - 2 + 3 fait
+ 1 : c’est pourquoi en cette équation
y3 - 8y2 - y + 8 = 0
(6)Descartes indique l’absence d’un terme par le signe * mis à la place de ce terme ; nous
l’ôterons comme inutile, de même que le facteur 1 qu’il laisse quelquefois.
43
il n’y a plus que trois racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies, 1
et 8, et une fausse qui est aussi 1 ; et en cette autre
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y - 420 = 0,
il n’y en a qu’une vraie qui est 2, à cause que + 5 - 3 fait + 2, et trois fausses
qui sont 5, 6 et 7.
faire deux choses qui auront ci-après quelque usage. La première est qu’on peut
toujours ôter le second terme de l’équation qu’on examine, à savoir en diminuant
les vraies racines de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre
des dimensions du premier, si l’un de ces deux termes étant marqué du signe +,
l’autre est marqué du signe - ; ou bien en l’augmentant de la même quantité,
s’ils out tous deux le signe + ou tous deux le signe -. Comme pour ôter le
second terme de la dernière équation qui est
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y - 420 = 0,
ayant divisé 16 par 4, à cause des quatre dimensions du terme y4, il vient derechef
4 ; c’est pourquoi je fais z - 4 = y, et j’écris
z4 - 16z3 + 96z2 - 256z + 256
+ 16z3 - 192z2 + 768z - 1024
+ 71z2 - 568z + 1136
-
4z +
16
- 420
z4
- 25z2 - 60z -
36 = 0
où la vraie racine qui étoit 2 est 6, à cause qu’elle est augmentée de 4 ; et les
fausses, qui étoient 5, 6 et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3, à cause qu’elles sont
diminuées chacune de 4.
Tout de même si on veut ôter le second terme de
x4 - 2ax3 + (2a2 - c2)x2 - 2a3x + a4 = 0,
44
Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connoître on peut Comment on peut
ôter le second
terme d’une
équation.
1
1
pourceque divisant 2a par 4 il vient
a, il faut faire z + a = x, et écrire
2
2
3
1
1
z4 + 2az3 + a2z2 + a3z +
a4
2
2
16
3
1
a3z -
a4
2
4
- 2az3 - 3a2z2 -
1
+ 2a2z2 + 2a3z +
a4
2
1
-
c2z2 - ac2z -
a2c2
4
- 2a3z -
a4
+
a4
1
z4 +
a2 - c2 z2 - (a3 + ac2)z +
2
5
1
a4 - a2c2 = 0
16
4
y6 - 35ny5
+ 504n2y4
- 3780n3y3
+ 15120n4y2
- 27216n5y
Où il est manifeste que 504n2, qui est la quantité connue du troisième terme,
35
est plus grande que le carré de
n, qui est la moitié de celle du second. Et il
2
n’y a point de cas pour lequel la quantité dont on augmente les vraies racines
ait besoin à cet effet d’être plus grande, à proportion de celles qui sont données,
que pour celui-ci.
45
1
et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant
a on aura celle de x.
2
en augmentant la valeur des vraies racines d’une quantité qui soit plus grande
que n’est celle d’aucune des fausses, faire qu’elles deviennent toutes vraies, en
sorte qu’il n’y ait point deux signes + ou deux signes - qui s’entre-suivent, et
carré de la moitié de celle du second. Car encore que cela se fasse lorsque ces
fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur
grandeur et de prendre une quantité qui les surpasse d’autant ou de plus qu’il
n’est requis à cet effet. Comme si on a
x6 + nx5 - 6n2x4 + 36n3x3 - 216n4x2 + 1296n5x - 7776n6 = 0,
en faisant y - 6n = x on trouvera
ff
9
9
9
9
y6 - 36n
y5 + 540n2
y4 - 4320n3
3 + 19440n4
- 46656n5
+ 46656n6
+
n
- 30n2
+ 360n3 =
- 2160n4
+ 6480n5 - 7776n6
-
6n2 ;
+ 144n3
- 1296n4
+ 5184n5 = - 7776n6
+
36n3
-
648n4
+ 3888n5
- 7776n6
-
216n4
+ 2592n5 - 7776n6
+ 1296n5
- 7776n6
La seconde chose qui aura ci-après quelque usage est qu’on peut toujours, Comment on peut
faire que toutes
les fausses racines
d’une équation
deviennent vraies
outre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le sans que les vraies
deviennent
fausses.
=
y2
y
y
=
;
;
;
- 7776n6
= 0.
Comment on fait
que toutes les
places d’une
équation soient
remplies.
écrire
x6 - bx = 0;
puis, ayant fait y - a = x, on aura
y6 - 6ay5 + 15a2y4 - 20a3y3 + 15a4y2 - 6a5
y + a6
= 0,
- b
+ ab
où il est manifeste que, tant petite que la quantité a soit supposée, toutes les
places de l’équation ne laissent pas d’être remplies.
De plus on peut, sans connoître la valeur des vraies racines d’une équation, Comment on peut
Mais à cause que le dernier terme s’y trouve nul, si on ne désire pas que cela
soit il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines, et ce ne sauroit
être de si peu que ce ne soit assez pour cet effet ; non plus que lorsqu’on veut
accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et faire que toutes les
places de ces termes soient remplies, comme si, au lieu de x5 - b = 0, on veut
avoir une équation en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions et dont
aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour
x5 - b = 0
multiplier ou
diviser les racines
sans les connoître.
les multiplier ou diviser toutes par telle quantité connue qu’on veut ; ce qui
se fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée ou divisée par
celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre ; puis
multipliant ou divisant la quantité connue du second terme par cette même qui
doit multiplier ou diviser les racines, et par son carré celle du troisième, et par
son cube celle du quatrième, et ainsi jusques au dernier. Ce qui peut servir pour
Comment on
réduit les nombres
rompus d’une
équation à des
entiers.
√
27
√
√
√x
√
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